Chaos Magick for Morons ™  

 Vytisknout

Ondrej Bojar

Chaos prehledne

Co je to chaos?

Svet popsany jednoduchymi zakony jeste nemusi byt jednoduchy, jak je patrne z obrazku fraktalu. Tento fenomen - kdyz z jednoduchych rovnic dostavame slozite vysledky - se nazyva chaos.

Teorie chaosu tedy neni teorii o neporadku. Nepopira determinismus, netvrdi, ze usporadane systemy jsou nerealne. Neznevazuje vedecke experimenty ani nerika, ze modelovani slozitych soustav je k nicemu.

Myslenka chaosu se opira o nasledujici tvrzeni:

1. Male zmeny v systemu mohou zpusobit velke fluktuace.
2. Nelze presne urcit stav nejakeho systemu (polohy a rychlosti jednotlivych atomu ap.)
3. Naopak je jednoduche popsat chovani systemu jako celku.

Chaoticke iterace

Zdrojem rady chaotickych zabav jsou ruzne funkce a posloupnosti, ktere jsou temito funkcemi zadany:

cos(cos(cos(...cos(cos(seed))...)))

velmi rychle konverguje k 0,7390851332 rad pro seed mezi 0 a 1

tan(tan(....))

v radianech vykazuje intermittenci - na prvni pohled konverguje, ackoli stale roste, byt o velmi male hodnoty

ve stupnich naopak trvale klesa

x² - 1

chova se periodicky, nejprve bude konvergovat k 0 nebo k 1 a jakmile k tomu dojde, zacne pravidelne stridat hodnoty 0 a -1 (nebot 0² - 1 = -1 a (-1)² - 1 = -1)

Domnivam se, ze jde castecne o podvod. Pri vypoctu hodnot clenu posloupnosti jsme vzdy omezeni presnosti digitalniho zapisu realnych cisel. A znamy priklad (z ustni prezentace v minulem semestru) hovoril o Lorenzovi a systemu simulujicim pocasi - a o poctu desetinnych, jez rozhodl o zcela jinem chovani celeho systemu.

Vlastne je snadne ukazat chaoticky podvod. Podivejte se nejakym zkreslujicim pristrojem (treba pocitacem) na nejakou periodickou funkci - v nasem prikladu x*(sin(x)+1) a zvetsujte a zvetsujte pri mizernem rozliseni. Za chvili uvidite radoby fraktal. Chaos je asi trosku alchymie.

Co je to fraktal?

Fraktal je geometricka konstrukce, ktera je sama sobe podobna pri ruznych zvetsenich.

Fraktal bude vypadat skoro stejne, at na nej budete hledet z jakekoli blizkosti.

Kanonickym prikladem fraktalu je:

Sierpinskeho trojuhelnik

Konstrukce je jednoducha:

Vysledek efektni:

Konstrukce i snadno programovatelna:

Postup, ktery zde uvadime je citelnym prepisem z obecnejsi teorie "Iterated Function System" Michaela Barnsleyho, v niz se uvazuji jednoduche transformace (matice, matice a zase matice) a pravdepodobnostni pocet.

Inicializace: Zvol tri body v rovine (rikejme jim rohy)

Libovolne zvol pocatecni bod (rikejme mu kukatko), nejlepe uvnitr planovaneho trojuhelnika, ale podminkou to neni.

Hlavni cyklus: Nahodne zvol jeden ze tri rohu.
Z kukatka ved myslenou usecku do zvoleneho rohu.

Ve stredu teto usecky nakresli bod (je to bod Sierpinskeho trojuhelnika).

Presun kukatko do tohoto bodu.

Opakuj do nekonecna.

Zkuste si sami tohle napsat na sve graficke kalkulacce, uvidite, jak je snadne oslnovat lidi obycejnou kalkulackou.

Pascaluv trojuhelnik

Vycernete si v Pascalove trojuhelniku licha cisla ...

... asi neni co dodavat.

Cantorova mnozina

Cantorova derava mnozina je jinym peknym prikladem fraktalu:

Usecku rozdel na tri casti.

Prostredni tretinu zahod.

Zbyle dve tretiny rozdel na tretiny, prostredni (devitiny) zahod.

Opakuj do nekonecna.

Von Kochova krivka

Von Kochova krivka je znamy fraktal, ktery ukazuje, ze treba delka pobrezi Anglie je nekonecna.

Obrazek najdete na odkazovanych strankach.

Zacni rovnostrannym trojuhelnikem.

V prostredni tretine kazde strany prilep rovnostranny trojuhelnik.

Opakuj do nekonecna.

Tento utvar ma konecnou plochu, ale nekonecny obvod.

V pripade zminene Anglie si staci predstavit, ze pobrezi budeme merit porad presneji a presneji, zacnete treba se zalivy, pak zatoky, pak obemknete jednotlive skaly, pak i kameny, kaminky, zrnicka pisku, molekuly, atomy, elektrony...

Mandelbrotova mnozina

Nejznamejsim fraktalem je bezpochyby Mandelbrotova hruska objevena roku 1979.

Povestny obrazek vznika na komplexni rovine, zkoumame-li pro dane komplexni cislo c chovani posloupnosti s pocatecnim n₀ = 0:

n_n+1 = n² + c

Muzeme se napriklad dohodnout, ze body komplexni roviny s c takovym, ze dana posloupnost rychle konverguje k nekonecnu, vykreslime bile na znameni, ze lezi mimo fraktal. Ostatni body vykreslime cerne.

Nebo muzeme pridat barvy - odlisit body, jejichz posloupnosti jsou nekonecne male, pomerne male, pomerne velke, nekonecne velke...

"Barevnejsi" obrazek najdete na odkazovanych strankach.

Chaos v praxi

Chaos je jako kazda jina teorie ukryt v pozadi cele rady ruznych vednich oboru. Prinasi pro ne predevsim novy a zajimavy pohled - neco odlisneho od klasickych newtonovskych predstav - a krome jineho i napr. nove smery v zobrazovani vedeckych udaju (misto beznych funkcnich zavislosti lze interpretovat krivky ve fazovem prostoru ap.)

Prime prakticke aplikace:

Modelovani biologickych systemu (rust populace, epidemie, arytmicky pacemaker)

Modelovani dalsich systemu (obchody na burze, kapajici kohoutek)

Graficke aplikace (Fractal Design Painter, filmove efekty - realisticke mraky, skaly, stiny)

Fraktalova komprese obrazu (zatim ve vyvoji, slibuje kompresni pomer 1:600, protoze slozity obrazec popise jednoduchou rovnici, z niz lze vsechno vypocitat)

Velmi zajimava cesta, ktera privede zvedavce ke krasam matematiky

Literatura a odkazy, barevne obrazky ap.

Making Order Out of Chaos, zacina pekne historii, pres teorii k obrazkum a programum.

http://hyperion.advanced.org/12170/

Studentska stranka o chaosu, k pochopeni netreba matematiky

http://www.students.uiuc.edu/~ag-ho/chaos/chaos.html

Prehled anglicke bibliografie, s uzitecnymi komentari

http://www.students.uiuc.edu/~ag-ho/chaos/books.html

Altavista

Zadejte +chaos fractal a ruzna dalsi slova

Copyright © Ondrej Bojar, obo@cuni.cz, 1999

Zlom © ChaoSpace, 2004

 

   Chaos Magick for Morons ™  

 Vytisknout